證法3如圖2-18．在直角三角形ABC的斜邊AB上向外作正方形ABDE，延長CB，自E作EG⊥CB延長線于G，自D作DK⊥CB延長線于K，又作AF，DH分別垂直EG于F，H．由作圖不難證明，下述各直角三角形均與Rt△ABC全等：
△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．
設五邊形ACKDE的面積為S，一方面S=SABDE+2S△ABC， ①
另一方面
S=SACGF+SHGKD+2S△ABC． ②由①，②
所以c2=a2+b2．
關于勾股定理，在我國古代還有很多類似上述拼圖求積的證明方法，我們將在習題中展示其中一小部分，它們都以中國古代家的名字命名．
利用勾股定理，在一般三角形中，可以得到一個更一般的結論．
定理在三角形中，銳角(或鈍角)所對的邊的平方等于另外兩邊的平方和，減去(或加上)這兩邊中的一邊與另一邊在這邊(或其延長線)上的射影的乘積的2倍．
證(1)設角C為銳角，如圖2-19所示．作AD⊥BC于D，則CD就是AC在BC上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ①
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ②又
BD2=(BC-CD)2， ③②，③代入①得
AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC?CD
=AC2+BC2-2BC?CD，即
c2=a2+b2-2a?CD． ④
(2)設角C為鈍角，如圖2-20所示．過A作AD與BC延長線垂直于D，則CD就是AC在BC(延長線)上的射影．在直角三角形ABD中，
AB2=AD2+BD2， ⑤
在直角三角形ACD中，
AD2=AC2-CD2， ⑥又
BD2=(BC+CD)2， ⑦將⑥，⑦代入⑤得
AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2
=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC?CD
=AC2+BC2+2BC?CD，即
c2=a2+b2+2a?cd． ⑧綜合④，⑧就是我們所需要的結論
特別地，當∠C=90°時，CD=0，上述結論正是勾股定理的表述：
因此，我們常又稱此定理為廣勾股定理(意思是勾股定理在一般三角形中的推廣)．
由廣勾股定理我們可以自然地推導出三角形三邊關系對于角的影響．在△ABC中 初中生物，
(1)若c2=a2+b2，則∠C=90°；
(2)若c2＜a2+b2，則∠C＜90°；
(3)若c2＞a2+b2，則∠C＞90°．
勾股定理及廣勾股定理深刻地揭示了三角形內部的邊角關系，因此在解決三角形(及多邊形)的問題中有著廣泛的應用
例1如圖2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB2=2FG2．
分析注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF2=2FG2，因而應有AF=AB，這啟發(fā)我們去證明△ABE≌△AFE．
證因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，所以Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，
所以AF=AB． ①
在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，所AG=FG，
AF2=AG2+FG2=2FG2． ②
由①，②得AB2=2FG2．
說明事實上，在審題中，條件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”應使我們意識到兩個直角三角形△AFE與△ABE全等，從而將AB“過渡”到AF，使AF(即AB)與FG處于同一個直角三角形中，可以利用勾股定理進行證明了．
例2如圖2-22所示．AM是△ABC的BC邊上的中線，求證：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．
證過A引AD⊥BC于D(不妨設D落在邊BC內)．由廣勾股定理，在△ABM中，
AB2=AM2+BM2+2BM?MD． ①
在△ACM中，
AC2=AM2+MC2-2MC?MD． ②
�、�+②，并注意到MB=MC，所以
AB2+AC2=2(AM2+BM2)． ③
如果設△ABC三邊長分別為a，b，c，它們對應邊上的中線長分別為ma，mb，mc，由上述結論不難推出關于三角形三條中線長的公式．
推論△ABC的中線長公式：
說明三角形的中線將三角形分為兩個三角形，其中一個是銳角三角形，另一個是鈍角三角形(除等腰三角形外)．利用廣勾股定理恰好消去相反項，獲得中線公式．①′，②′，③′中的ma，mb，mc分別表示a，b，c邊上的中線長．
c2=a2+b2．
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