一、一個匈牙利數學家小時的故事
路易·波薩（Louis Pósa）是匈牙利的年青數學家，1988年時約40歲。他在14歲時就已能夠發(fā)表有相當深度的數學論文。大學還沒有讀完，就已獲得科學博士的頭銜。
他的媽媽是一個數學家。小時他受母親的影響，很愛思考問題。母親看他對數學有興趣，也鼓勵他在這方面發(fā)展。她給他一些數學游戲，或數學玩具啟發(fā)他獨立思考問題。在母親的循循善誘之下，他在讀小學時已經自己拿高中的數學書來看了。真正訓練他成為一個數學家的是匈牙利鼎鼎有名的大數學家。
厄杜斯在數論、圖論等數學分支有很深入的研究，他把一生獻給數學，從來沒有想到結婚，只和自己的母親為伴，他經常離開自己的祖國到外國去作研究和演講。在東歐國家里像厄杜斯能這樣隨意離開自己的國家進出西方世界的數學家并不太多。他到處以數學會友，他在數學方面的多產，以及在解決問題上有巧妙的方法，使他在世界數學界上享有甚高的聲譽。對于他的祖國來講，他重要的貢獻不單是在數學的研究，而是他一回到自己的國家就專心致志地培養(yǎng)年青一代的數學家，告訴他們外國目前數學家注意的問題，擴大他們的視野。
我這里要講他怎么樣發(fā)現路易·波薩的才能的故事。
有一次他從國外回來后，聽到朋友講起有一個很聰明的小東西，在小學能解決許多困難的數學問題，于是就登門拜訪這小鬼的家庭。
波薩的家人很高興請厄杜斯教授共進晚餐。在喝湯的時候，厄杜斯想考一考坐在他旁邊的12歲小孩的能力，于是就問他這樣的一個問題：
“如果你手頭上有n+1個整數，而這些整數是小于或等于2n，那么你一定會有一對數是互素的。你知道這是什么原因嗎？”
這小鬼不到半分鐘的思考，就很快給出這個問題的解答。他的解答又是那么巧妙，使得厄杜斯教授嘆服。認為這是一個難得的“英才”，應該好好地培養(yǎng)。
厄杜斯以后系統(tǒng)地教這小鬼數學，不到兩年的時間波薩就成為一個“小數學家”了，而且發(fā)現在圖論一些深湛的定理。
二、波薩怎樣解決厄杜斯提的問題
對于許多離開學校很久的讀者，我想做一點解釋厄杜斯提出的問題。
首先我們解釋：一對數是互素是什么意思？
我們知道如果把自然數1，2，3，4，5，…照大小排起來，從2開始像2，3，5，7，11，13，17，19，23，…，等數都有這樣特別的性質：除1和本身以外，再找不到比它小的數能整除它。
具有這樣特殊性質的數我們稱它為素數（Prime number）。
我們小學時不是學習過把整數因子分解嗎？那就是把整數用素數的乘積來表示。例如50＝2×5×5，108=2×2×3×3×3＝22×33。
兩個自然數稱為互素（Coprime），如果把它們表示成素數乘積時，找不到它們有公共的素因數。例如{8，11}一對數是互素。10和108不是互素，因為它們有公共的素因數2。
現在讓我們來理解厄杜斯的問題。先對一些特殊的情況來考慮：
當n=2時，我們手頭上有3個整數，這些整數是小于或等于4，可以選出的只是{2，3，4}，不包含1，很明顯的看出{2，3}或{3，4}是互素的。
n=3時，在小于或等于6的整數找4個整數組（不要包含1），可能找出的有{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{3，4，5，6}，{2，4，5，6}等等。你一個個檢查一定會在每組中找出最少一對互素的數。
可以看出隨著n增大時，構造n＋1個不同數的數組的個數就會增加很大。如果我們是這樣一個一個地對這些數組來檢查證明，這真會成為：“吾生也有涯，而數無涯”，那時候皓首不但窮盡不了，最后真是要“嗚呼哀哉”了！
如果讀者中有人說：“我有苦干和拚命干的精神！”我還是要勸他不要用這樣的苦干法，應該學會“巧干”，這才是最重要的。不然的話，人家小孩子用不到半分鐘就解決了的問題，而我們苦干再加上拚命干卻花一生還沒法子解決，這不是太浪費生命嗎？
我現在準備介紹波薩對這問題的解法。可是我希望讀者先自己想想看怎么樣解決這問題。如果你能找到和下面不同的解決方法，請來信告訴我。如果你花過一些時間還想不出，那么就請讀下去，你這時就會欣賞波薩解決方法的巧妙，而最重要的你會學懂“鴿籠原理”，說不定以后你成為業(yè)余數學家或者專業(yè)數學家還會用到這個原理呢！
波薩是這樣考慮問題：取n個盒子，在第一個盒子我們放1和2，在第二個盒子我們放3和4，第三個盒子是放5和6，依此類推直到第n個盒子放2n-1和2n這兩個數。
現在我們在n個盒子里隨意抽出n＋1個數。我們馬上看到一定有一個盒子是被抽空的。因此在這n+1個數中曾有兩個數是連續(xù)數，很明顯的連續(xù)數是互素的。因此這問題就解決了！
你說這個解法是不是很容易明白又非常巧妙呢？！
三、鴿籠原理
波薩在證明過程中用到在數學上稱為鴿籠原理（PigeonholePrinciple）的東西。這原理是這樣說的：如果把n+1個東西放進n個盒子里，有一些盒子必須包含最少2個東西。
有高六層的鴿籠，每一層有四個間隔，所以總共有6×4＝24個鴿籠。現在我放進25只鴿進去，你一定看到有一個鴿籠會有2只鴿要擠在一起。
鴿籠原理就是這么簡單，3歲以上的小孩子都會明白。
可是這原理在數學上卻是有很重要的應用。
在19世紀時一個名叫狄利克雷（Dirichlet 1805—1859）的數學家，在研究數論的問題時最早很巧妙運用鴿籠原理去解決問題。后來德國數學家敏古斯基（Minkowski 1864—1909）也運用這原理得到一些結果。
到了20世紀初期杜爾（A．Thue 1863—1922）在不知道狄利克雷和敏古斯基的工作情況下，很機巧地利用鴿籠原理來解決不定方程的有理數解的問題，有12篇論文是用到這個原理。
后來西根（C．L．Siegel，1896—？）利用杜爾的結果發(fā)現了現在稱為西根引理的東西，這引理（Lemma）是在研究超越數時是最基本必用的工具。
因此讀者不要小看這個看來簡單的原理，你如果善于運用是能幫助你解決一些數學難題的。
四、鴿籠原理的日常運用
我這里舉一些和日常生活有關的一些問題，你可以看到數學在這里的運用。
（1）月黑風高穿襪子
有一個晚上你的房間的電燈忽然間壞了，伸手不見五指，而你又要出去，于是你就摸床底下的襪子。你有三雙分別為紅、白、藍顏色的襪子，可是你平時做事隨便，一脫襪就亂丟，在黑暗中不能知道哪一雙是顏色相同的。
你想拿最少數目的襪子出去，在外面借街燈配成同顏色的一雙。這最少數目應該是多少？
如果你懂得鴿籠原理，你就會知道只需拿出去四只襪子就行了。
為什么呢？因為如果我們有三個涂上紅、白、藍的盒子，里面各放進相對顏色的襪子，只要我們抽出4只襪子一定有一個盒子是空的，那么這空的盒子取出的襪子是可以拿來穿。
（2）手指紋和頭發(fā)
據說世界上沒有兩個人的手指紋是一樣的，因此警方在處理犯罪問題時很重視手指紋，希望通過手指紋來破案或檢定犯人。
可是你知道不知道：在12億中國人當中，最少有兩個人的頭發(fā)是一樣的多？
道理是很簡單，人的頭發(fā)數目是不會超過12億這么大的數目字！假定人最多有N根頭發(fā)。現在我們想像有編上號碼1，2，3，4，…一直到N的房子。
誰有多少頭發(fā)，誰就進入那編號和他的頭發(fā)數相同的房子去。因此張樂平先生的“三毛”應該進入“3號房子”。
現在假定每間房巳進入一個人，那么還剩下“九億減N”個人，這數目不會等于零，我們現在隨便挑一個放進一間和他頭發(fā)數相同的房子，他就會在里面遇到和他有相同頭發(fā)數目的同志了。
（3）戲院觀眾的生日
在一間能容納1500個座位的戲院里，證明如果戲院坐滿人時，一定最少有五個觀眾是同月同日生。
現在假定一年有三百六十五天。想像有一個很大的鴿子籠，這籠有編上“一月一日”，“一月二日”，至到“十二月三十一日”為止的標志的間隔。
假定現在每個間隔都塞進四個人，那么 4×365=1460個是進去鴿子籠子里去，還剩下1500-1460=40人。只要任何一人進入鴿子籠，就有五個人是有相同的生日了。
五、鴿籠原理在數學上的運用
現在我想舉一些數學上的問題說明鴿籠原理的運用。
（1）斐波那契數的一個性質
斐波那契數列是這樣的數列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。從1，1以后的各項是前面兩項的數的和組成。
在18世紀時法國大數學家和物理學家拉格朗日（J．L．La-grange）發(fā)現這斐波那契數有這樣有趣的性質：
如果你用2來除各項，并寫下它的余數，你會看到這樣的情形1，1，0，1，1，0，1，1，0，…
如果用3來除各項，寫下它的余數，你就得到
1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…
如果用4來除各項，寫下它的余數，你就會得到
1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…
現在觀察用2除所得的數列，從開頭算起每隔三段，后面的數列就重復前面的數列。用3除所得的數列，從開頭算起每隔八段，后面的數列就重復前面的數列樣子。對于以4除所得的余數數列也有同樣的情況：每隔六段，后面的數列就重復前面的數列樣子。
拉格朗日發(fā)現不管你用什么數字去除，余數數列會出現有規(guī)律的重復現象。
為什么會有這樣的現象呢？
如果我們用一個整數K來除斐波那契數列的數，它可能的余數是0，1，2，…，K－1。
由于在斐波那契數的每一項是前面兩項的和，它被K除后的余數是等于前兩項被K除余數的和。（注意：如果這和是大過K，我們取它被K除后的余數）只要有一對相鄰的余數重復出現，那么以后的數列從那對數開始就會重復出現了。不同對相鄰余數可能的數目有K2個，因此由鴿籠原理，我們知道只要適當大的項數，一定會有一對相鄰余數重復。因此斐波那契數列的余數數列會有周期重復現象。
（2）五個大頭釘在等邊三角板里的位置
有一個每邊長2單位的正三角形（即三邊都相等的三角形）的三角板。
你隨便在上面釘上五個大頭釘，一定會有一對大頭釘的距離是小過一單位。
你不相信的話，可以做幾次實驗看看是否一直是如此。我現在要用鴿籠原理來解決這個問題。
在三角板的每邊取中點，然后用線段連結這些中點，把這正三角形分成四個全等的小正三角形圖。現在在每一個小三角形里任何兩點的距離是不會超過1個單位。
由于我們有五個大頭釘，不管怎么樣放一定有兩個要落進同一個小正三角形里，因此這兩個大頭釘的距離是不會超過一個單位。
六、動腦筋 想想看
（1）給出任意12個數字，證明當用11來除時，一定有一對數的余數是相同。
（2）如果在一個每邊都是2單位的正三角形板上隨便釘上17個大
（3）如果在一個每邊都是2單位的正方形板上隨便釘上5根釘，
（4）我們一定能夠在一個每邊都是2單位長的正方形板上適當的釘上9根釘，使它們之中不存在有兩根釘的距離是小于1單位。
（5）（英國數學奧林匹克1975年的問題）在一個半徑為1單位的圓板上釘7個釘，使得沒有兩個釘的距離是大過或等于1，那么這7個釘一定會有一個位置恰好是在圓心上。
（6）任意6個人在一起，一定會有其中兩種情形之一發(fā)生：第一種情形──有3個人互相認識。第二種情形──有3個人，他們之間完全不認識。
（7）（a）你能不能在從1到200的整數里挑選出100個自然數，使到任何其中之一不能整除剩下的99個數。
（b）證明如果在從1到200間隨便取101個自然數，那么一定最少有兩個自然數，其中之一能整除另外的數。
（8）隨便給出10個10位數的數字，我們一定能把它分成兩部分，使到每一部分的整數的和是等于其他一部分的整數的和。
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