三、解答題
11.(2012上海理改編)如圖，在四棱錐中，底面是矩形，是四棱錐的高，是的中點，已知，，，求：
⑴四棱錐的體積；
⑵異面直線與所成的角的大小.
考查目的：考查異面直線所成角的概念及其求法.
答案：⑴，⑵.
解析：⑴根據(jù)題意四棱錐的體積.⑵取PB的中點F，連接EF，AF，則EF∥BC，∴∠AEF(或其補角)是異面直線BC與AE所成的角.連結(jié)AC.在直角△AEF中，，∴.在△AEF中，，，AE=2，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF=，∴異面直線BC與AE所成的角大小為.
12.(2011湖南文)如圖，在圓錐PO中，已知，⊙O的直徑AB=2，點C在上，且，D為AC的中點.
⑴證明：AC平面POD；
⑵求直線OC和平面PAC所成角的正弦值.
考查目的：考查直線與平面垂直的判定，直線與平面所成角的計算，以及空間想象能力.
答案：⑴略，⑵.
解析：⑴∵OA=OC，D是AC的中點，∴AC⊥OD.又∵PO⊥底面⊙O，底面⊙O，∴AC⊥OD.PO是平面POD內(nèi)的兩條相交直線，∴AC⊥平面POD.
⑵由⑴知，AC⊥平面POD.又∵，∴平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，過O作OH⊥PD于點H，則OH⊥平面PAC.連結(jié)CH，則CH是OC在平面PAC上的射影，∴∠OCH是直線OC和平面PAC所成的角.在中，；在中，.
13.(2010陜西文)如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點.
⑴證明：EF∥平面PAD；
⑵求三棱錐E—ABC的體積V.
考查目的：考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積計算.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴在△PBC中，E，F(xiàn)分別是PB，PC的中點，∴EF∥BC.又∵BC∥AD，∴EF∥AD，∵AD平面PAD，EF平面PAD，∴EF∥平面PAD.
⑵連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點G，則BG⊥平面ABCD，且.在△PAB中，AD=AB，，BP=2，∴，.∴，∴.
14.(2010四川理)已知正方體的棱長為1，點M是棱的中點，點O是對角線的中點.
⑴求證：OM為異面直線和的公垂線；
⑵求二面角的正切值.
考查目的：考查異面直線、直線與平面垂直、二面角、正方體等基礎知識，空間想象能力和邏輯推理能力.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴連結(jié)AC，取AC中點K，則K為BD的中點，連結(jié)OK.∵M是棱的中點，點O是的中點，∴，∴.
由⊥AK，得MO⊥.∵AK⊥BD，AK⊥，∴AK⊥平面，∴AK⊥，∴MO⊥.又∵OM與異面直線和都相交，
∴OM為異面直線和的公垂線.
⑵取中點N，連結(jié)MN，則MN⊥平面.過點N作NH⊥于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理得⊥MH，從而，∠MHN為二面角的平面角.MN=1，.在Rt△MNH中，，
∴二面角的正切值大小為.
15.(2012湖南理)如圖，在四棱錐中，⊥平面，，，，，是的中點.
⑴證明：CD⊥平面PAE；
⑵若直線與平面成的角和與平面所成的角相等，求四棱錐的體積.
考查目的：考查直線與平面垂直的判定，直線和平面所成角的運用，體積計算以及綜合運用立體幾何知識解決問題的能力.
答案：⑴略；⑵.
解析：⑴連接，由，，，得.又∵，Ｅ是的中點，∴.∵，∴.而是平面內(nèi)的兩條相交直線，∴⊥平面.
⑵過點作，分別與相交于，連接.由⑴⊥平面知，⊥平面，∴為直線與平面所成的角，且.由知，為直線與平面所成的角.，，.由題意知，.∵，∴.由知，AD∥BC. 又∵BG∥CD，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴.在中，，∴，于是.又∵梯形的面積為，∴四棱錐的體積為.
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