數(shù)列的極限定義（描述性的）：
如果當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列
的項(xiàng)an無限地趨近于某個常數(shù)a（即
無限地接近于0），a叫數(shù)列的極限，記作
，也可記做當(dāng)n→+∞時，an→a。
數(shù)列的極限嚴(yán)格定義：
即ε－N定義：對于任何正數(shù)ε（不論它多么小），總存在某正數(shù)N，使得當(dāng)n＞N時，一切an都滿足
，a叫數(shù)列的極限。
數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則：
若
，則
（1）
，
；
（2）
，
；
（3）
。
前提條件：（1）各數(shù)列均有極限，（2）相加減時必須是有限個數(shù)列才能用法則。
an無限接近于a的方式有三種：
第一種是遞增的數(shù)列，an無限接近于a，即an是在常數(shù)a的左邊無限地趨近于a，如n→+∞時，
；
第二種是遞減數(shù)列，an無限地趨近于a，即an是在常數(shù)a的右邊無限地趨近于a，如n→+∞時，是
；
第三種是擺動數(shù)列，an無限地趨近于a，即an是在無限擺動的過程中無限地趨近于a，如n→+∞時，
。
一些常用數(shù)列的極限：
（1）常數(shù)列A，A，A，…的極限是A；
（2）當(dāng)
時，
；
（3）當(dāng)|q|＜1時，
；當(dāng)q＞1時，
不存在；
（4）
不存在，
。
（5）無窮等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1，公比q，前n項(xiàng)和Sn，各項(xiàng)之和S，則
（只有在0＜|q|＜1時）。
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