三、解答題
12.某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖甲，B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖乙(注：利潤與投資單位：萬元).
⑴分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它們的函數(shù)關(guān)系式；
⑵該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤，其最大利潤約為多少萬元(精確到1萬元)？
考查目的：考查函數(shù)建模能力、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、換元法求二次函數(shù)最值，以及轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想等.
答案：⑴，；⑵當A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時，企業(yè)獲得最大利潤約4萬元.
解析：⑴設(shè)A產(chǎn)品投資萬元時，利潤為萬元； B產(chǎn)品投資萬元時，利潤為萬元，由題意設(shè)().由圖象可知，∴.又∵，∴，∴，.
⑵設(shè)投入A產(chǎn)品萬元，則投入B產(chǎn)品為萬元，這時企業(yè)獲得的利潤為萬元，依題意得
.
令，∴，
∴當時，，此時.
答：當A產(chǎn)品投入3.75萬元，B產(chǎn)品投入6.25萬元時，企業(yè)獲得最大利潤約4萬元.
13.(2011湖北理)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況.在一般情況下，大橋上的車流速度(單位：千米/小時)是車流密度(單位：輛/千米)的函數(shù).當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時.研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數(shù).
⑴當時，求函數(shù)的表達式；
⑵當車流密度為多大時，車流量(單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)
可以達到最大，并求出最大值.(精確到1輛/小時)
考查目的：考查分段函數(shù)、待定系數(shù)法和函數(shù)最值的求法等基礎(chǔ)知識，以及運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.
答案：⑴⑵當時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.
解析：⑴由題意得，當時，；當時，設(shè)().由已知條件得解得∴函數(shù)的表達式為⑵由⑴得
當時，為增函數(shù)，∴當時，其最大值為60×20=1200；
當時，，
當且僅當時，在區(qū)間[20，200]上取得最大值.
綜合以上得，當時，在區(qū)間[0，200]上取得最大值.
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時.
14.某跨國飲料公司在對全世界所有人均GDP(即人均純收入)在0.5千美元～8千美元的地區(qū)銷售該公司A飲料情況的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：人均GDP處在中等的地區(qū)對該飲料的銷售量最多，然后向兩邊遞減.
⑴下列幾個模擬函數(shù)中的哪一個模擬函數(shù)(表示人均GDP，單位：千美元，表示年人均A飲料的銷量，單位：升)來描述人均A飲料銷量與地區(qū)的人均GDP關(guān)系更合適？說明理由.
①，②，③，④；
⑵若人均GDP為1千美元時，年人均A飲料的銷量為2升，人均GDP為4千美元時，年人均A飲料的銷量為5升，把⑴中你所選的模擬函數(shù)求出來，并求出各個地區(qū)中，年人均A飲料的銷量最多是多少？
考查目的：考查幾類增長率函數(shù)模型與實際問題的擬合，數(shù)學(xué)建模能力，綜合所學(xué)知識解決實際問題的能力.
答案：⑴；⑵年人均A飲料銷量最多是升.
解析：⑴用函數(shù)①來描述人均A飲料銷量與地區(qū)的人均GDP的關(guān)系更合適.因為函數(shù)，，在其定義域內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)，不具備先遞增后遞減的特征.
⑵∵函數(shù)圖象經(jīng)過點(1，2)和(4，5)，∴，解得，∴，.
∵，∴在各地區(qū)中，當時，年人均A飲料銷量最多是升.
15.(2007廣東)已知是實數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零點，求實數(shù)的取值范圍.
考查目的：考查函數(shù)零點的定義、二次函數(shù)與二次方程之間的相互轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合思想.
答案：或.
解析：函數(shù)在區(qū)間上有零點，即方程在上有解.若時，則，不符合題意，∴，∴方程在上有解等價于
①或②.解①得.解②得或.
綜合①②得或，即實數(shù)的取值范圍是或.
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