《義務教育數學課程標準(版)》(以下簡稱《課標(版)》)課程目標明確提出“四基”,除了我國傳統的“雙基”(基礎知識和基本技能)以外,增加了新的“雙基”,即基本思想和基本活動經驗.那么,如何認識基本活動經驗?在數學教學中學生應該獲得哪些基本的活動經驗?本文主要結合人教版數學教材中的四邊形和函數的有關內容,分析和探討基本數學活動經驗及基本數學活動經驗積累的有關問題.
獲得基本數學活動經驗,首先必須明確都有哪些數學活動,其中哪些數學活動可確定為基本數學活動.我們先來分析《課標(版)》關于數學活動或者基本數學活動的表述.
在基本理念中,“學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”的表述表明了觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證是數學活動.
在知識技能目標中,“經歷數與代數的抽象、運算與建模等過程……;經歷圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定等過程……;經歷在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息的過程……;參與綜合實踐活動……”的表述表明了抽象、運算與建模;圖形的抽象、分類、性質探討、運動、位置確定;在實際問題中收集和處理數據、利用數據分析問題、獲取信息;參與綜合實踐活動是數學活動.
在數學思考目標中,“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中,發展合情推理和演繹推理能力,清晰地表達自己的想法”的表述表明了觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐是數學活動.
在教學建議中,強調數學活動經驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀,在數學學習活動過程中逐步積累.進一步地,以統計教學為例指出,通過設計有效的統計活動,使學生經歷完整的統計過程,包括收集數據、整理數據、展示數據、從數據中提取信息,并利用這些信息說明問題,不斷積累統計活動經驗.
最后特別指出,強調“綜合與實踐”是積累數學活動經驗的重要載體,通過“綜合與實踐”的學習積累運用數學解決問題的經驗.
顯然,《課標(版)》在不同地方對數學活動的表述是有差異的.那么,是否可以將其在不同地方提及的數學活動合并以后就可以構成義務教育階段數學課程中的數學活動?是否還存在著《課標(版)》沒有提及的數學活動?在上述數學活動中,又有哪些數學活動屬于基本數學活動?確定的依據或標準又是什么(以下在論述時只提“數學活動”,不提“基本數學活動”)?顯然這些問題都需要認真地研究.
一個基本的認識是,研究數學活動或者基本數學活動不能停留在一般層面上泛泛而談,不能脫離具體數學知識(數學教學內容)空談,而應對具體的數學知識進行深入的分析,揭示數學知識之后所蘊涵的數學活動,使數學知識挖掘出數學活動的生長點,使數學活動尋求到數學知識的固著點,并將這些數學活動設計為過程性的教學目標,使學生切實能夠在數學學習過程中獲得數學活動經驗.
二、數學活動經驗的案例分析
1.平行四邊形學習中的數學活動經驗分析
通過分析可知,人教版數學八年級下冊第十九章“四邊形”所涉及的圖形及其相互關系可用下頁圖1直觀表示.
也就是說,這一章依次要研究平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形.一個自然的想法是:研究平行四邊形的做法是否也可以用來研究隨后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形?從數學活動經驗的角度來分析,即在平行四邊形學習過程中獲得的數學活動經驗是否可以在隨后的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學習中發揮積極作用?
進一步地,通過分析平行四邊形的教學內容可以知道以下三個基本事實:
(1)知識的整體脈絡:定義性質判定方法應用.
首先,教材給出了平行四邊形的定義;其次,在掌握平行四邊形定義的基礎上探究平行四邊形的性質;再次,在學習平行四[第一論文網lunwen.1KEJIAN.com]邊形的性質后研究平行四邊形的判定方法;最后,關于平行四邊形知識的應用(這里的應用包括了平行四邊形的定義、性質和判定方法的應用,也涵蓋了數學內部的應用和數學外部的應用).
(2)考察的基本元素:邊、角與對角線.
平行四邊形的定義:有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
平行四邊形的三條性質:①平行四邊形的對邊相等;②平行四邊形的對角相等;③平行四邊形的對角線互相平分.
平行四邊形的四種判定方法:①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形;②對角線互相平分的四邊形是平行四邊形;③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
從平行四邊形的定義、性質和判定方法中可以看出,其所涉及的平行四邊形的基本元素只有三個:邊、角、對角線,除此以外再也沒有提及其他元素.
(3)關注的主要關系:度量關系與位置關系.
“平行四邊形的對邊相等”“平行四邊形的對角線互相平分”刻畫的是線段相等;“平行四邊形的對角相等”刻畫的是角度相等.不論線段相等,還是角度相等,其本質是幾何對象的度量關系.
“平行四邊形的兩組對邊分別平行”刻畫的是邊與邊的平行關系;“菱形(特殊的平行四邊形)的對角線互相垂直”刻畫的是對角線與對角線的垂直關系.無論平行關系,還是垂直關系,其本質是幾何對象的位置關系(特殊位置關系).
所以,在學習平行四邊形時,除了讓學生掌握平行四邊形的定義、性質、判定方法與應用這些具體的知識以外,還要讓學生體會和感悟以下三點:平行四邊形的知識發展是按照“定義—性質一判定方法—應用”的順序進行的;在研究平行四邊形時,只關注它的邊、角和對角線;在研究邊、角和對角線時,只關注幾何對象的度量關系和位置關系(特殊位置關系).而以上就是要求學生在學習平行四邊形過程中必須獲得的數學活動經驗.一旦這些數學活動經驗積累起來,便可以在后續矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學習中發揮積極的作用,經過幾次這樣的學習活動,最終會使學生獲得研究四邊形的數學活動經驗.
2.正比例函數學習中的數學活動經驗分析
人教版數學對函數知識的安排如圖2所示.
教材在研究一般的一次函數之前,先研究特殊的一次函數——正比例函數,正比例函數的知識是按照以下順序展開的:
第一,從實際問題情境中抽象得到正比例函數的模型.
第二,給出正比例函數的描述性定義.
第三,利用列表、描[第一論文網lunwen.1KEJIAN.com]點、連線這些步驟畫出正比例函數的圖象.
第四,通過比較不同的正比例函數圖象,考察函數解析式y=kx(k≠0)中k的取值對正比例函數圖象位置的影響及對自變量和函數值之間變化關系的影響.
第五,應用正比例函數的有關知識解決問題(包括實際問題).
進一步地,通過分析一次函數、反比例函數、二次函數與銳角三角函數可以發現,不同函數的研究過程是類似的,基本是沿用正比例函數的研究過程,可以用直觀圖表示,如圖3.
所以,在正比例函數的學習中應該積累對后續函數學習有幫助的數學活動經驗.然而,在正比例函數的學習過程中可以獲得哪些數學活動經驗?我們認為,應該讓學生獲得兩種具體的數學活動經驗和四種一般的數學活動經驗.
兩種具體的數學活動經驗:
(1)函數圖象的畫法經驗,即函數圖象畫法三部曲——列表、描點、連線;
(2)函數性質的研究經驗,就是考察函數解析式中的參數變化對函數圖象的位置特點和幾何特征的影響,對函數的自變量和函數值之間變化關系的影響.
四種一般的數學活動經驗:
(1)函數的研究過程經驗:抽象函數模型——給出函數定義——畫出函數圖象——研究函數性質——應用函數知識.
(2)函數性質的研究經驗:借助函數的直觀圖象以數形結合的方式來研究函數的性質.
(3)數學抽象的活動經驗:學生在函數知識的學習中要經歷兩次抽象的過程,一是從實際問題情境中通過剝離無關因素(非數學的因素)抽象得到多樣化的函數概念模型;二是在多樣化的函數概念模型的基礎上進一步歸納形成抽象的函數概念.
(4)應用函數的知識分析問題和解決問題的活動經驗.
如果學生在正比例函數的學習過程中獲得了上述數學活動經驗,這些數學活動經驗就可以在一次函數、反比例函數、二次函數與銳角三角函數的學習中發揮積極的作用.不僅如此,這些數學活動經驗還可以在高中階段和大學階段的函數學習中起到積極作用.
三、進一步的思考
在數學活動經驗案例分析的基礎上,我們對有關問題做進一步的思考.
(1)學生一旦獲得數學活動經驗,就能有效地開展自主探究學習、自主建構知識,真正體現“學生是數學學習的主體”.以四邊形的學習為例,在學習平行四邊形之后,學生獲得了前文提到的三種數學活動經驗,后續的矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形和直角梯形的學習可讓學生自行完成,完全可以讓學生對上述圖形的性質和判定方法進行自主探究.當然不能否認教師在教學過程中的組織者、引導者、合作者的作用.
(2)實際上,在一般情形下,數學活動經驗積累很難一次完成,可能需要多次才能逐步完成這個積累過程.以函數的學習[第一論文網lunwen.1KEJIAN.com]為例,學生在正比例函數的學習過程中,就很難獲得前文提到的全部六種數學活動經驗.在這些數學活動中,有的感受到了,有的就未必感受到;有的感受比較深刻,有的感受比較膚淺.因此,在第二次函數的學習過程中,即一次函數學習過程中,教師應該再次啟發和引導學生去感受和體驗其中的數學活動,最終獲得六種數學活動經驗.
(3)教師在教學過程中存在“平均用力”的現象,即每種類型的函數教學課時基本相等,這種現象在其他內容教學中也很普遍,我們是否需要進行反思?在學習不同類型的函數時,函數的定義和性質是新的,但是學習函數的活動經驗卻不是新的.所以,教師在教學設計時,往往會忽略以前的數學活動經驗對當前的數學知識學習的促進作用.理想的教學是:在數學活動類似的數學知識教學過程中,課時應該是逐漸減少的.
(4)數學活動經驗在數學學習中所起作用的范圍、時空是有差異的.例如,在平行四邊形學習活動中獲得的數學活動經驗在“四邊形”這一章內容的學習中會發揮作用,而在正比例函數學習活動中獲得的數學活動經驗在后續初中函數內容、高中函數內容乃至大學函數內容的學習中都會發揮作用.當然,隨著學生年齡的增長、知識的增多和能力的發展,函數形式將會更加復雜,如從基本初等函數到函數的復合;函數性質將會增多,如高中階段增加了函數的單調性、周期性和奇偶性,大學階段增加了函數的有界性、凹凸性;研究對象將會增多,如高中階段增加了函數圖象上的特殊點和函數的最值等,大學階段增加了拐點、極值點等;研究工具更加多樣,如高中階段增加了“一階導數”這一研究函數單調性的工具,大學階段增加了“二階導數”這一研究函數單調性、凹凸性的工具等.雖然函數的名稱、形式、性質、研究對象、研究工具在不斷地變化,但是在正比例函數學習中獲得的數學活動經驗仍然能夠在函數學習中發揮積極作用
來源自3edu教育網
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